функции от результатов наблюдений, употребляемые для статистического оценивания (См.
Статистическое оценивание) неизвестных параметров распределения вероятностей изучаемых случайных величин. Например, если
X1,...,
Xn - независимые случайные величины, имеющие одно и то же
Нормальное распределение с неизвестным средним значением
а, то функции - среднее арифметическое результатов наблюдений
и выборочная
Медиана μ = μ(
X1,..., Xn) являются возможными точечными С. о. неизвестного параметра
а. В качестве С. о. какого-либо параметра θ естественно выбрать функцию θ
*(
X1,..., Xn) от результатов наблюдений
X1,..., Xn, в некотором смысле близкую к истинному значению параметра. Принимая какую-либо меру "близости" С. о. к значению оцениваемого параметра, можно сравнивать различные
оценки по качеству. Обычно мерой близости
оценки к истинному значению параметра служит величина среднего значения квадрата ошибки
(выражающаяся через
Математическое ожидание оценки E
0θ* и её дисперсию (См.
Дисперсия) D
0θ*). В классе всех несмещённых оценок (См.
Несмещённая оценка) (для которых E
0θ* = 0) наилучшими с этой точки зрения будут
оценки, имеющие при заданном
n минимальную возможную дисперсию при всех θ. Указанная выше оценка
Х для параметра
а нормального распределения является наилучшей несмещенной оценкой, поскольку дисперсия любой другой несмещенной
оценки а* параметра
а удовлетворяет неравенству
, где σ
2 - дисперсия нормального распределения. Если существует несмещенная оценка с минимальной дисперсией, то можно найти и несмещенную наилучшую оценку в классе функций, зависящих только от достаточной статистики (См.
Достаточная статистика). Имея в виду построение С. о. для больших значений
n, естественно предполагать, что вероятность отклонений θ* от истинного значения параметра θ, превосходящих какое-либо заданное число, будет близка к нулю при
n →∞. С. о. с таким свойством называются состоятельными оценками. Несмещенные
оценки, дисперсия которых стремится к нулю при
n →∞, являются состоятельными. Поскольку скорость стремления к пределу играет при этом важную роль, то асимптотическое сравнение С. о. производят по отношению их асимптотической дисперсии. Так, среднее арифметическое
Х в приведённом выше примере - наилучшая и, следовательно, асимптотически наилучщая оценка для параметра
а, тогда как выборочная медиана μ, представляющая собой также несмещенную оценку, не является асимптотически наилучшей, т.к.
(тем не менее использование μ имеет также положительные стороны: например, если истинное распределение не является в точности нормальным, а несколько отличается от него, дисперсия
Х может резко возрасти, а дисперсия μ остаётся почти той же, т. е. μ обладает свойством, называется "прочностью"). Одним из распространённых общих методов получения С. о. является метод моментов, который заключается в приравнивании определённого числа выборочных моментов к соответствующим моментам теоретического распределения, которые суть функции от неизвестных параметров, и решении полученных уравнений относительно этих параметров. Хотя метод моментов удобен в практическом отношении, однако С. о., найденные при его использовании, вообще говоря, не являются асимптотически наилучшими, Более важным с теоретической точки зрения представляется
Максимального правдоподобия метод, который приводит к оценкам, при некоторых общих условиях асимптотически наилучшим. Частным случаем последнего является
Наименьших квадратов метод. Метод С. о. существенно дополняется оцениванием с помощью доверительных границ (См.
Доверительные границы).
Лит.: Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.
А. В. Прохоров.